बीजगणित में, दिए गए संख्याओं के सेट को हल करने के लिए अक्सर अंकगणितीय प्रगति का उपयोग किया जाता है। इस क्रम में दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान होगा, पूरे क्रम को समान्तर श्रेणी कहा जाता है।
एक क्रम में दो क्रमागत पदों के बीच की दूरी स्थिर होती है। जैसे 1, 4, 7, 10, 13, 16,… एक अंकगणितीय क्रम है जिसमें प्रत्येक क्रमागत संख्या के बीच अचर दूरी 3 होती है। इस पोस्ट में, हम अंकगणितीय अनुक्रम की परिभाषा, सूत्र और उदाहरणों के बारे में जानेंगे।
अंकगणितीय प्रगति क्या होता है?
एक प्रगति या अनुक्रम जिसमें संख्याओं की श्रृंखला के बीच निरंतर दूरी होती है, दी गई संख्याओं के अंकगणितीय अनुक्रम के रूप में जानी जाती है। गणित में, क्रमित सूची में लिखी गई संख्याओं को अनुक्रम के रूप में जाना जाता है।
अनुक्रम में शामिल संख्याओं को अनुक्रम की शर्तें कहा जाता है। अनुक्रम ने एक पैटर्न का अनुसरण किया जिसमें हमें यह अनुमान लगाना है कि निरंतर दूरी का उपयोग करके अगला पद क्या है।
अंकगणितीय अनुक्रम के पैटर्न में, पदों को पिछले पदों में अचर पद जोड़कर लिखा जा सकता है। अनुक्रम की निरंतर अवधि को सामान्य अंतर के रूप में भी जाना जाता है।
पूर्ण संख्याएँ, प्राकृत संख्याएँ, सम संख्याएँ, पूर्णांक और विषम संख्याएँ अंकगणितीय प्रगति कहलाती हैं क्योंकि इन संख्याओं में अनुक्रम बनाने के लिए एक सामान्य अंतर होता है। प्रत्येक प्रसिद्ध संख्या को संख्याओं का एक क्रम कहा जाता है।
अनुक्रम की शर्तें शर्तों के सामान्य अंतर के आधार पर या तो बढ़ या घट सकती हैं। यदि सामान्य अंतर सकारात्मक है, तो क्रम में वृद्धि होनी चाहिए। दूसरी ओर, यदि सामान्य दूरी ऋणात्मक है, तो अनुक्रम घट सकता है।
उदाहरण के लिए, यदि अनुक्रम का प्रारंभिक पद 3 है और पदों के बीच की सामान्य दूरी 6 है तो बनने वाला अनुक्रम 3, 9, 15, 21, 27, 33, 39, 45, 51, … यह क्रम है बढ़ते क्रम को कहा है।
यदि अनुक्रम का प्रारंभिक मान 23 है और पदों के बीच सार्व अंतर -3 है, तो बनने वाला क्रम 23, 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, -1, … इस क्रम को कहा जाता है घटते क्रम में होना।
आप दिए गए प्रारंभिक मान के अंकगणितीय अनुक्रम और nवें पद तक सामान्य अंतर प्राप्त करने के लिए अंकगणितीय अनुक्रम कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं।
समान्तर श्रेणी का सूत्र
इस प्रकार के अनुक्रम का सामान्य सूत्र नीचे दिया गया है।
nवें पद के लिए अंकगणितीय प्रगति = xn = x1 + (n – 1) d
- xn अनुक्रम का nवाँ पद है।
- n पदों की कुल संख्या है।
- d क्रमागत संख्याओं के बीच की उभयनिष्ठ दूरी है।
संख्याओं के बीच की उभयनिष्ठ दूरी सूत्र का उपयोग करके ली जा सकती है यदि यह नहीं दी गई है।
सामान्य दूरी की गणना करने का सूत्र है:
सामान्य दूरी = d = xn – xn-1
अनुक्रम का योग एक सामान्य सूत्र का उपयोग करके लिया जाता है।
अनुक्रम का योग = S = n/2 * (2x1 + (n – 1) d)
- xn अनुक्रम का nवाँ पद है।
- X1 अनुक्रम का प्रारंभिक पद है।
- n पदों की कुल संख्या है।
- d क्रमागत संख्याओं के बीच की उभयनिष्ठ दूरी है।
समान्तर श्रेणी के उदाहरण
अंकगणितीय अनुक्रम के हल किए गए उदाहरण निम्नलिखित हैं।
उदाहरण 1: अनुक्रम के nवें पद के लिए
एक समान्तर श्रेणी के सूत्रों का उपयोग करके 1, 8, 14, 20, 26, 32, 38, … का 13वाँ पद ज्ञात कीजिए।
समाधान
चरण 1: सबसे पहले दिए गए क्रम को लिखिए।
1, 8, 14, 20, 26, 32, 38,…
चरण 2: दिए गए अनुक्रम का प्रारंभिक पद और सार्व अंतर लीजिए।
प्रारंभिक अवधि = x1 = 1
सामान्य दूरी = d = xn – xn-1
सामान्य दूरी = d = 8 – 1
सामान्य दूरी = d = 7
चरण 3: nवें पद की गणना के लिए अंकगणितीय प्रगति का सामान्य समीकरण लिखें।
nवें पद के लिए अंकगणितीय प्रगति = xn = x1 + (n – 1) d
चरण 4: सूत्र में प्रारंभिक पद और उभयनिष्ठ दूरी को प्रतिस्थापित कीजिए।
= xn = x1 + (n – 1) 7
= xn = 1 + (n – 1) 7
= xn = 1 + 7n – 7
= xn = 7n – 6
चरण 5: n = 13 रखें क्योंकि हमें अनुक्रम का 13वाँ पद ज्ञात करना है।
= xn = 7(13) – 6
= xn = 91 – 6
= xn = 85
उदाहरण 2: बढ़ते क्रम के लिए
अंकगणितीय अनुक्रम के सूत्रों का उपयोग करके यदि पहला पद 7 है और सामान्य दूरी 4 है, तो अंकगणितीय अनुक्रम ज्ञात करें।
समाधान
चरण 1: दिए गए अनुक्रम का प्रारंभिक पद और सामान्य अंतर लिखिए।
प्रारंभिक पद = x1 = 7
सामान्य दूरी = d = 4
चरण 2: nवें पद की गणना के लिए अंकगणितीय अनुक्रम का सामान्य समीकरण लिखें।
nवें पद के लिए अंकगणितीय क्रम = xn = x1 + (n – 1) d
चरण 3: सूत्र में आरंभिक पद और उभयनिष्ठ दूरी को प्रतिस्थापित कीजिए।
= xn = x1 + (n – 1) 4
= xn = 7 + (n – 1) 4
= xn = 7 + 4n – 4
= xn = 4n + 3
चरण 4: n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …. शर्तों का क्रम प्राप्त करने के लिए।
n = 1 के लिए
x1 = 4(1) + 3
x1 = 4 + 3
x1 = 7
n = 2 के लिए
x1 = 4(2) + 3
x1 = 8 + 3
x1 = 11
n = 3 के लिए
x1 = 4(3) + 3
x1 = 12 + 3
x1 = 15
n = 4 के लिए
x1 = 4(4) + 3
x1 = 16 + 3
x1 = 19
n = 5 के लिए
x1 = 4(5) + 3
x1 = 20 + 3
x1 = 23
n = 6 के लिए
x1 = 4(6) + 3
x1 = 24 + 3
x1 = 27
n = 7 के लिए
x1 = 4(7) + 3
x1 = 28 + 3
x1 = 31
चरण 5: अब परिकलित पदों को एक क्रम के रूप में लिखिए।
अंकगणित अनुक्रम = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + …
अंकगणित अनुक्रम = 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31,…